空间向量函数思想总结（集锦十九篇）_空间向量函数思想总结

空间向量函数思想总结（集锦十九篇）。

⬮ 空间向量函数思想总结

课题

3.5正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数

教学目标

1、掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质2、会用待定系数法确定函数的解析式

教学重点

掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质

教学难点

掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质

教学方法

讲练结合法

教学过程

（I）知识要点（见下表：）

第三章第29页函数名称解析式图像正比例函数ykx（k0）0x反比例函数一次函数ykxb（k0）0x二次函数yax2bxc（a0）y0xy0xky（k0）xyxy0xyy0xy0xyk0k0k0k0k0k0a0a0图像过点（0，0）及（1，k）的直线双曲线，x轴、y轴是它的渐近线与直线ykx平行且过点（0，b）的直线抛物线定义域RxxR且xoyyR且yoRR4acb2a0时，y,4aR值域R4acb2a0时，y,4aba0时，在－,上为增2a函数，在,－单调性k0时，在,0，k0时为增函数0,上为减函数k0时，为增函数b上为减函数2ak0时为减函数k0时，在,0，k0时，为减函数0,上为增函数ba0时，在－,上为减2a函数，在,－b上为增函数2a奇偶性奇函数奇函数b=0时奇函数b=0时偶函数a0且x－ymin最值无无无b时，2a24acb4ab时，2a24acb4aa0且x－ymax

第三章第30页b24acb2注：二次函数yaxbxca(x（a0）)a(xm)(xn)2a4abb4acb2对称轴x，顶点(，)

2a2a4a2抛物线与x轴交点坐标(m，0)，(n，0)（II）例题讲解

例1、求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）抛物线过点A（1，1），B（2，2），C（4，2）（2）抛物线的顶点为P（1，5）且过点Q（3，3）

（3）抛物线对称轴是x2，它在x轴上截出的`线段AB长为2且抛物线过点（1，7）。2，

解：（1）设yax2bxc(a0)，将A、B、C三点坐标分别代入，可得方程组为

abc1a1解得b4yx24x24a2bc216a4bc2c2（2）设二次函数为ya(x1)25，将Q点坐标代入，即a(31)253，得

a2，故y2(x1)252x24x3

（3）∵抛物线对称轴为x2；

∴抛物线与x轴的两个交点A、B应关于x2对称；∴由题设条件可得两个交点坐标分别为A(2∴可设函数解析式为：ya(x2代入方程可得a1

∴所求二次函数为yx24x2，

2，0)、B(222，0)

2)(x22)a(x2)22a，将（1，7）

5)，例2：二次函数的图像过点（0，8），(1，（4，0）

（1）求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间（2）当x取何值时，①y≥0，②y（2）由y0可得x22x80，解得x4或x2由y0可得x22x80，解得2x4

例3：求函数f(x)x2x1，x[1，1]的最值及相应的x值

113x1(x)2，知函数的图像开口向上，对称轴为x

224111]上是增函数。∴依题设条件可得f(x)在[1，]上是减函数，在[，22131]时，函数取得最小值，且ymin∴当x[1，24131又∵11

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各位专家：

你们好！

今天我说课的课题是《平面向量的概念》，这是江苏省职业学校文化课教材《基础模块·下册》第七章平面向量中的第一节的内容，我将尝试运用新课改的理念、中职学生的认知特点指导本节课的教学，新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。下面我将以此为基础从教材分析、学情分析、教法学法、教学过程、教学评价等五个环节，向各位专家谈谈我对本节课教材的理解和教学设计。

一、 教材分析：

1、教材的地位和作用

向量是高中阶段学习的一个新的矢量，向量概念是《平面向量》的最基本内容，它的学习直接影响到我们对向量的进一步研究和学习，如向量间关系、向量的加法、减法以及数乘等运算，还有向量的坐标运算等,因此为后面的学习奠定了基础.

结合本节课的特点及学生的实际情况我制定了如下的教学目标及教学重难点：

2、教学目标

(1) 知识与技能目标

1)识记平面向量的定义，会用有向线段和字母表示向量，能辨别数量与向量；

2)识记向量模的定义，会用字母和线段表示向量的模.

3)知道零向量、单位向量的概念.

(2) 过程与方法目标

学生通过对向量的学习，能体会出向量来自于客观现实 ，提高观察、分析、抽象和概括等方面的能力，感悟数形结合的思想.

（3）情感态度与价值观目标

通过构建和谐的课堂教学氛围，激发学生的学习兴趣，使学生勇于提出问题，同时培养学生团队合作的精神及积极向上的学习态度.

3、教学重难点

教学重点：向量的定义，向量的几何表示和符号表示，以及零向量和单位向量

教学难点：向量的几何表示的理解，对零向量和单位向量的理解

二、学情分析

（1）能力分析：对于我校的学生，基础知识较薄弱，虽然他们的智力发展已到了形成运演阶段，但并不具备较强的抽象思维能力、概括能力及数形结合的思想.

（2）认知分析：之前，学生有了物理中的矢量概念，这为学习向量作了最好的铺垫。

（3）情感分析：部分学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究.

三、教法学法

教法：启发教学法，引探教学法，问题驱动法，并借助多媒体来辅助教学

学法：在学法上，采用的是探究，发现，归纳，练习。从问题出发，引导学生分析问题，让学生经历观察分析、概括、归纳、类比等发现和探索过程.

四、教学过程

课前：

为了打造高效课堂，以生为本我选择生本式的教学方式，以穿针引线的方式设计了前置性作业。其中包括一些向量的基本概念，并提出：

1、你学过的其他学科中有没有可以称为向量的？

2、向量的特点是什么？有几种描述向量的表示方法？

3、零向量的特点是什么？

【设计意图】目的是通过课前的预习明确自己需要在本节课中解决的问题，带着问题听课，我会在上课前就学生的完成情况明确主要的教学侧重点，真正打造高效课堂。

课上教学过程：

1、 创设情境

数学的学习应该是与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们在生活中发现数学，探究数学，认识并掌握数学，由生活的实例引入，在对比于物理学中的速度、位移等学生已有的知识给出本章研究的问题平面向量

【设计意图】形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备。

2、 形成概念

结合物理学中对矢量的定义，给出向量的描述性概念。对于一个新学的量定义概念后，通常要用符号表示它。怎样把我们所举例子中的向量表示出来呢？

采取让学生先尝试向量的表示方法，自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量。明确为什么可以用有向线段表示向量，引导学生总结出向量的表示方法，强调印刷体与手写体的区别。结合板书的有向线段给出向量的模。

单位向量、零向量的概念

【即时训练】

为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，我特地设计了一组即时训练题，通过学生的观察尝试，讨论研究，教师引导来巩固新知

3、 知识应用

本阶段的教学，我采用的是教材上的两个例题，旨在巩固学生对平面向量的观念，提高学生的动手实践能力，掌握求模的基本方法，提升识图能力.

4、 学以致用

为了调动学生的积极性，培养学生团队合作的精神，本环节我采用小组竞争的方式开展教学，小组讨论并选派代表回答，各组之间取长补短，将课堂教学推向高潮，再次加强学生对向量概念的理解。

5、课堂小结

为了了解学生本节课的学习效果，并且将所学做个很好的总结。设置问题：通过本节课的学习你有哪些收获？（可以从各种角度入手）

【设计意图】通过总结使学生明确本节的学习内容，强化重点，为今后的学习打下坚定的基础

6、 布置作业

出选做题的目的是注意分层教学和因材施教，为学有余力的学生提供思考的空间．

以上几个环节环环相扣，层层深入，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动眼观察，动脑思考，层层递进，亲身经历了知识的形成和发展过程，以问题为驱动，使学生对知识的理解逐步深入。而最后的实际应用又将激发学生的学习兴趣，带领学生进入对本节课更深一步的思考和研究之中，从而达到知识在课堂以外的延伸。

以上就是我对本节课的设计和说明，请各位领导，老师批评指正

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数学向量知识点总结

考点一：向量的概念、向量的基本定理

【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。

注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。

考点二：向量的运算

【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。

【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。

考点三：定比分点

【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。

【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。

考点四：向量与三角函数的综合问题

【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。

【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。

考点五：平面向量与函数问题的交汇

【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。

【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。

考点六：平面向量在平面几何中的应用

【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。

平面向量

戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算：

(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律：+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);

两个向量共线的充要条件：

(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= .

(2) 若=,b=()则‖b .

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，戴氏航天学校老师提醒有且只 有一对实数，，使得= e1+ e2

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向量数量积的物理背景与定义

教材说明

平面向量数量积具有代数与几何的双重性质，因此所涉及的内容较为广泛，如方程、不等式等代数问题;夹角、距离、面积、平行、垂直等几何问题。

平面向量数量积是数学中知识与能力的载体，是数学上的一个重要工具之一，值得一提的是在教材的后续两章的学习中，对三角函数内容中某些问题的处理都是借助向量的数量积来解决的，这正体现了平面向量数量积的工具性，在解决代数与几何问题中都有着很强的实用性。

课型 新授课

课时 1课时(练习 共2课时)

学情分析

在学平面向量数量积之前，学生已学习了平面向量的概念、向量的线性运算及向量的基本定理与坐标表示等有关内容，这为过渡到本节的学习起了铺垫作用;在后继知识的学习中，是据此内容用向量代数方法进一步研究了平面图形的有关性质。

本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。

教学内容分析

教学的主要内容：以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来;向量数量积与向量的长度及夹角的关系;进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。

教材的编写的特点：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》(B版)第二章、第3节第1课时。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。?

教学目标

知识与技能：

(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义;

(2)掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的运算;

(3)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系.

过程与方法：

通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想

情感态度与价值观：

通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯

教学重点和难点

重点：平面向量的数量积的概念和性质;用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角;平面向量数量积的运算律的探究及应用.

难点：难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解;平面向量数量积的灵活应用。

教学策略选择与设计

《高中数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，转变学生的学习方式，激发学生的学习积极性，让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的基本要求。《高中数学课程标准》还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。为此，结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题，研究问题，并解决问题。重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观。

教学资源与手段

资源：三角板，彩粉笔，电脑，多媒体。

手段：通过师生互动，共同探讨生成新知，更加有助于学生探究能力的培养。

教学过程设计

教学环节 教学过程 师生活动 设计意图

情景引入 1、给出有关材料并提出问题

问题1： 表示一个么角?

SHAPE MERGEFORMAT

(1)如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功： 。

(2)这个公式有什么特点?请完成下列填空：

①W(功)是 量，②F(力)是 量，

③S(位移)是 量，④ 是 。

(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积

提问

学生易答：表示力 的方向与位移 的方向的夹角

创设学生熟悉的问题情景，将学生自然的带入到课堂的教学内容中来。

探究问题

形成定义

(1)探究两个向量的夹角的定义。

问题2：你能指出下列图中两向量的夹角吗?

问题3：对于两个非零向量 ，你能给出它们夹角的定义吗?

问题4：思考向量夹角的范围

问题5： 表示什么?

SHAPE MERGEFORMAT

(2)探究向量 在 方向上的投影

问题6：对于两个非零向量 ，向量 在向量 方向上的投影为什么?你能从图中作出 在 方向上的投影吗?

(3)探究 与 的数量积.

问题7：F(力)是 量， S(位移)是 量，W(功)是 量

定义：

叫做 与 的数量积(或内积)，记作： .

即： = 。(板书三)

问题8：向量数量积的运算与线性运算的结果有什么不同?

若 是非零向量，设夹角为θ，完成下表：

夹角θ的范围的符号

问题9：根据投影的概念，数量积 =

的几何意义如何? (板书四)

问题10：请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积

(板书五)

①②③学生容易得到，④学生可能会出现两种答案，教师给予指导

学生思考回答，教师予以补充，关键是点出两向量起点相同，并给出夹角符号

有了问题2的铺垫，学生容易得出0 ，

教师强调同向时为0，反向时为π.

教师补充：

(1)当

= 时，向量 与向量 互相垂直，记作 .

(2)在讨论垂直问题时规定：零向量与任一向量垂直.

生答：力F在位移方向上的分量

师补充：我们把 称为力F在位移S方向上的投影

师生共作向量 在 方向上的投影图象。

对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，将公式中的力与位移推广到一般向量 与 。

怎么来规定

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摘要：本节课的内容是《空间向量及其加减运算》，选自普通高中课程标准实验教科书人教A版选修2-1第三章。本文就从教学内容和学生情况分析，教学目标设定，重难点设置，教学方式，教学过程以及教学反思等方面对这节课进行说明。

关键词：空间向量；加减运算；学生

一、教学内容和学生情况分析

本节内容是第三章《空间向量与立体几何》的第一节，由于是起始节，所以这节课中也包含了章引言的内容。章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算。向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分：一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。新课标对这节内容的要求是：经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算。这节课的授课班级是高二的一个理科实验班，学生在高一时就学习了平面向量，能利用平面向量解决平面几何的问题。在平面向量的教学中，我始终注重与实数的类比、数形结合等数学思想方法的渗透，不仅让学生清楚学什幺，更主要的是帮助学生理解为什幺学，怎幺学。基于此，设定了这节课的教学目标。

二、教学目标

1.理解空间向量的概念，会用图形说明空间向量的线性运算及其运算律，初步应用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题。

2.学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程。

3.培养学生的空间观念和系统学习概念的意识。

三、教学重点与教学难点

这节课的教学重点是空间向量的概念及线性运算。在由平面向量向空间向量的推广过程中，学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难，所以我将这节课的教学难点设置为体会类比的数学方法的应用。

四、教学方式

采用的教学方式是通过连续的五个探究问题，启发引导学生自主完成概念的探究过程，加减运算及运算律：交换律和结合律，紧紧围绕教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，努力突破教学难点。

五、教学过程

本节课分为5个环节：引入概念，概念形成，概念深化，应用概念，归纳小结。其中重点是概念的形成和概念的深化，实际教学时间25分钟。

1.引入概念。在引入概念环节中，由一系列图片，吸引学生眼球，使学生对空间向量有个初步认识，明确空间向量无处不在，应用广泛。激发学生学习空间向量的兴趣，通过追问激发学生学习新概念的兴趣，并给出本节课具体的研究方向。这节课作为《空间向量与立体几何》一章的第一节课，希望让它也起到章节“导游图”的作用。

2.概念形成。教师引导：主要是通过类比平面向量的方法，由学生自主探究空间向量的概念，由学生从定义、表示、方向刻画、大小刻画、特殊向量、向量间的特殊关系等方面探究空间向量的概念。师生小结：我通过问题串帮助学生将概念梳理清楚，让他们体会到空间向量与平面向量的概念完全相同，只是所处的环境不同而已。以前研究的向量都位于平面内，现在他们可以在空间中任意平移了。在这个过程中让学生明确空间向量的研究方法，体会数学的严谨性。接着利用两组动画，第一个是平面内和位移的例子，第二个是教师爬教学楼的楼梯，展示空间中和位移，使学生对空间向量的加法有个初步感知。然后通过提问让学生类比平面向量去定义空间向量的加法，减法运算，让学生进一步体会空间向量与平面向量之间的关系，突出教学重点。

3.概念深化。简化运算就需要研究空间向量线性运算的运算律。问题：平面向量中学习过哪些线性运算的运算律？这些运算律是不是也可以推广到空间中去呢？咱们先来看看哪些可以直接由平面结论得到（PPT给出）。学生通过探究发现由于加法交换律和分配律都只涉及到一个或两个向量，可以看作同一平面上的问题，可由平面结论直接得出；而空间中任意三个向量可能不共面，所以加法结合律还需要重新证明。接着由学生自主完成对加法结合律的证明。这是本节探究的难点之一。教师小结：通过结合律的证明能培养学生的空间观念，他们还能进一步体会空间向量中的某些问题与平面向量中相应问题的不同之处。

4.应用概念。在应用概念环节中，我设置了4道例题（PPT给出）。例1的设计意图，说明首尾相接的若干个向量的和向量是由起始向量的起点到终止向量终点的向量。如果回到起点，和为零向量。例2的设计意图是让学生初步应用空间向量的概念及其运算解决一些问题，平行六面体是空间向量加法运算的一个重要几何模型，需要加深对平行六面体的理解。同时通过例2让学生进一步猜想空间中任意一个向量是不是都能用这三个向量来表示，是不是空间中任意三个向量都能去表示别的向量，对这三个向量有什幺要求。这样为下一节的内容做铺垫。例3、例4的设计意图是帮助学生熟悉多边形法则，进一步巩固空间向量的线性运算。

5.归纳小结。在归纳小结环节中为了培养学生归纳总结的意识和能力，我首先提问让学生自己总结，接着我根据学生的回答补充完善小结，总结空间向量的概念内容和研究过程，尤其强调在整个研究过程中都使用到的类比的推理方法，进一步突破这节课的教学难点。

六、教学反思

通过这节课的备课与教学我自己主要有以下几方面的收获。

1.在概念课教学中教师作用的体现。这节课的知识本身是很容易的，对于学习程度好的学生自学应该也没有问题，那幺教师在这节课中的作用是什幺？我想作为教师，需要帮助学生从整体上把握知识脉络，关注这部分内容在整个数学知识体系中的地位和作用。这不仅能够让学生更加深刻地理解概念更加自如地运用概念，还能在这个过程中对学生进行数学思想方法的渗透。帮助学生站在一个更高的角度，站在数学发展的角度看问题，对学生的长远发展是有好处的。本节课设计的一个特点就是从整体上进行了设计，关注学生已有的认知结构，并在此基础上由知识浅层挖掘出其背后所蕴含的数学概念体系，强调类比的方法，这也是形成新的数学概念的重要方法之一。

不足之处：①这节课的知识基础是平面向量的相关知识，而平面向量是学生在高一时学习的内容，时隔半年多之后学生对这部分知识遗忘非常严重，我们又没有时间再对平面向量作细致的复习，所以学生反应不是很快，重难点突破的有点吃力；②从自身专业素质来说，语言比较随意，不够专业，数学是严谨的学科，语言专业性急需提高。

2.新课标对学生掌握知识螺旋上升要求的实现。在教学过程中，每一个空间向量问题的引入都以平面框架为基础，这是在学习新知识时对相关旧知识的一个复习、巩固与提高的过程。

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1、 向量的概念;

2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;

1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。

向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。

2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的.结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。

实数与向量的乘积:λ( )=λ λ ;(λ μ) =λ μ ,λ(μ )=

两个向量的数量积: ・ = ・ ;(λ )・ = ・(λ )=λ( ・ ),( )・ = ・ ・

说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如( ± )2=

(1)平面向量基本定理;如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量 ,有且只有一对数数λ1,λ2,满足 =λ1 λ2 ,称λ1 λ λ2 为 , 的线性组合。

根据平面向量基本定理,任一向量 与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为 在基底{ , }下的坐标,当取{ , }为单位正交基底{ , }时定义(λ1,λ2)为向量 的平面直角坐标。

向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若a(x,y),则 =(x,y);当向量起点不在原点时,向量 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若a(x1,y1),b(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1)

坐标语言为:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2),即 ,或x1y2-x2y1=0

在这里,实数λ是唯一存在的,当 与 同向时,λ>0;当 与 异向时,λ

|λ|= ,λ的大小由 及 的大小确定。因此,当 , 确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。

坐标语言:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ⊥ x1x2 y1y2=0

则定比分点向量式:

定比分点坐标式:设p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2)

,

实际上,对于起点相同,终点共线三个向量 , , (o与p1p2不共线),总有 =u v ,u v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。

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向量法证明不等式

高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变. 若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的`运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.

设a，b是欧氏空间的两向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

规定a・b=(x1，x2，…，xn)・(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.

(注：a・b可记为(a，b)，表示两向量的内积)，有

由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式.

一、利用向量模的和与和向量的模的不等式(即

例1设a，b，c∈R+，求证：(a+b+c)≤++≤.

证明：先证左边，设m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，

则由

综上，原不等式成立.

点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边.

作单位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余边同理

在三角形ABC平面上做一单位向量i,i⊥BC,因为 BA+AC+CB=0恒成立，两边乘以i得 i*BA+i*AC=0① 根据向量内积定义，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理 i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得 csinB-bsinC=0 所以b/sinB=c/sinC 类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sinA=b/sinB, 所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步骤1

记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i・a+i・b+i・c

=a・cos(180-(C-90))+b・0+c・cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a・sinB

CH=b・sinA

∴a・sinB=b・sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤3.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

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函数工作总结是一项重要的工作，通过对工作的统计分析，可以更好地了解工作的进展情况，总结工作的经验教训，为今后的工作提供参考和借鉴。统计函数工作总结是每一个职业人士必须具备的基本能力之一。

在进行函数工作总结时，首先要对工作的目标进行明确定义。明确工作的目标对于工作的开展具有重要意义，只有明确了工作目标，才能有针对性地进行工作，从而提高工作的效率和质量。在进行工作总结时，也要对工作的过程进行详细的记录和分析，包括工作的计划、执行和结果等方面，通过对工作过程的分析，可以找出工作中存在的问题和不足之处，及时进行改进和提高。

函数工作总结还需要对工作的成果进行全面的评估和分析。在评估和分析工作成果时，要考虑工作的实际效果、客观情况、问题和困难等因素，客观、公正地评价工作的成果，找出成果的优点和不足之处，并提出改进的建议和措施。通过对工作成果的评估和分析，可以及时总结经验教训，为今后的工作提供参考和指导。

除此之外，函数工作总结还需要对团队和个人的工作进行沟通和交流。在进行工作总结时，要积极主动地与团队成员和领导进行沟通和交流，共同分享工作的经验和心得体会，找出共同存在的问题和改进方向，加强团队协作和合作，推动工作的顺利进行。同时，也要对个人的工作进行自我评价和总结，找出个人存在的问题和不足之处，积极改进提高自己的工作能力和水平。

函数工作总结是一项重要的工作能力，通过对工作的统计分析和总结，可以及时总结经验教训，为今后的工作提供参考和借鉴，提高工作的效率和质量。在进行函数工作总结时，要明确工作目标，详细记录工作过程，全面评估工作成果，加强团队和个人的沟通和交流，共同推动工作的顺利进行。只有不断总结和提高，才能不断进步，取得更好的工作成绩。

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这是我的对平面向量基本定理这一节的说课稿，请各位老师指点：

各位老师大家好，今天，我说课的内容是：人教B版必修4第二章第二节《平面向量的基本定理》第一课时，我将从教材分析、学生分析、教学方法和手段、教学过程以及教学评价五个方面进行分析

一、说教材

1、关于教材内容的分析

（1）平面向量基本是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理，这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。所以它是进一步研究向量问题的基础；是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。

（2）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进行向量运算的基本工具，它也为平面向量坐标表示的学习打下基础。

（3）平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。

2、关于教学目标的确定

根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。

1、①了解平面向量基本定理及其意义，会做出由一组基地所表示的向量

②会把任意向量表示为一组基地的线性组合。掌握线段中点的向量表达式

2、通过对平面向量基本定理的归纳，抽象、概况，体验定理的产生和形成过程，提高学生抽象的能力和概括的能力

3、通过对定理的应用增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具。

3、重点和难点的分析

掌握了平面向量基本定理，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点。另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点。突破难点的关键是在充分理解向量的平行四边形法则的和向量共线的充要条件下多方位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解。

二、说教学方法与教学手段

结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式为：质疑—合作—探究式。

此模式的流程为激发兴趣——发现问题，提出问题——自主探究，解决问题——自主练习，采用多媒体辅助教学，增强数学的直观性，实物投影的使用激发学生的求知欲。

三、说学情分析与学法指导

学情分析：前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备。

学法指导：教师平等的参与学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来体现教师的主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，引导学生全员、

⬮ 空间向量函数思想总结

空间向量的正交分解的定义：

对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量，使，如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解。

空间向量的坐标表示：

在空间直角坐标系O—xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使,初中学习方法，有序实数组(x，y，z)叫作向量A在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作A(x，y，z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。

空间向量基本定理：

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使。

若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：

设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使。

基底在向量中的应用：

(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一.

(2)在空间中选择基底主要有以下几个特点：①不共面;②有公共起点;③其长度及两两夹角已知.(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。

用已知向量表示未知向量：

用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：

(1)要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来;

(2)把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系;

(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。

⬮ 空间向量函数思想总结

1. 映射定义：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射

2. 若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B可建立nm个映射

3.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素

4.相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则(两点必须同时具备)

5.求函数的定义域常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义⑥注意同一表达式中的两变量的取值范围是否相互影响

6.函数解析式的求法：

①定义法（拼凑）： ②换元法： ③待定系数法 ④赋值法7.函数值域的求法：

①换元配方法。如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域。②判别式法。一个二次分式函数在自变量没有限制时就可以用判别式法去值域。其方法是将等式两边同乘以 dx2+ex+f移项整理成一个x的一元二次方程，方程有实数解则判别式大于等于零，得到一个关于y的不等式，解出y的范围就是函数的值域。

③单调性法。如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域

8.函数单调性的证明方法:

第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1

第二步：作差(x1)-(x2)，并对“差式”变形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”；

第三步：判断差式(x1)-(x2)的正负号，从而证得其增减性

9、函数图像变换知识

①平移变换：

形如：y=f(x+a)：把函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左或向右平移

｜a｜个单位，就得到y=f(x+a)的图象。

形如：y=f(x)+a：把函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上或向下平移｜a｜个单位，就得到y=f(x)+a的图象

②.对称变换     y=f(x)→ y=f(－x),关于y轴对称

y=f(x)→ y=－f(x) ,关于x轴对称

③.翻折变换

y=f(x)→y=f|x|,  (左折变换)

把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称

y=f(x)→y=|f(x)|（上折变换）

把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称

10.互为反函数的.定义域与值域的关系：原函数的定义域和值域分别是反函数的值域及定义域；

11.求反函数的步骤：①求反函数的定义域（即y=f(x)的值域）②将x,y互换，得y=f–1 (x)；③将y=f(x)看成关于x的方程，解出x=f–1 (y)，若有两解，要注意解的选择；。

12.互为反函数的图象间的关系：关于直线y=x对称；

13. 原函数与反函数的图象交点可在直线y=x上，也可是关于直线y=x对称的两点

14.原函数与反函数具有相同的单调性

15、在定义域上单调的函数才具有反函数；反之，并不成立（如y=1/x）

16．复合函数的定义域求法：

①         已知y=f(x)的定义域为A，求y=f[g(x)]的定义域时，可令g(x)A，求得x的取值范围即可。

②         已知y=f[g(x)]的定义域为A，求y=f(x)的定义域时，可令xA，求得g(x)的函数值范围即可。

17.复合函数y=f[g(x)]的值域求法：

首先根据定义域求出u=g(x)的取值范围A，

在uA的情况下,求出y=f(u)的值域即可。

18 .复合函数内层函数与外层函数在定义域内单调性相同，则函数是增函数；单调性不同则函数是减函数。增增、减减为增；增减、减增才减

①f(x)与f(x)+c (c为常数)具有相同的单调性

②f(x)与c·f(x)当c>0是单调性相同，当c<0时具有相反的单调性

③当f(x)恒不为0时，f(x)与1/f(x)具有相反的单调性

④当f(x)恒为非负时，f(x)与具有相同的单调性

⑤当f(x)、g(x)都是增(减)函数时，f(x)+g(x)也是增(减)函数

设f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)当f (x)，g(x)两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时是减(增)函数

19.二次函数求最值问题：根据抛物线的对称轴与区间关系进行分析，

Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则

a>0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

a<0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

a>0时：最小值在离对称轴近的端点处取得，最大值在离对称轴远的端点处取得；

a<0时：最大值在离对称轴近的端点处取得，最小值在离对称轴远的端点处取得

20.一元二次方程实根分布问题解法：

①   将方程的根视为开口向上的二次函数的图像与x轴交点的横坐标

②从判别式、对称轴、区间端点函数值三方面分析限制条件

21.分式函数y=(ax+b)/(cx+d)的图像画法：

①     确定定义域渐近线x=-d/c ②确定值域渐近线y=a/c③根据y轴上的交点坐标确定曲线所在象限位置。

22.指数式运算法则 23.对数式运算法则：

24.指数函数的图像与底数关系：

在第一象限内，底数越大，图像（逆时针方向）越靠近y轴。

25.对数函数的图像与底数关系：

在第一象限内，底数越大，图像（顺时针方向）越靠近x轴。

26. 比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较

27.抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：

①f(x1＋x2)＝f(x1)+f(x2)正比例函数f(x)=kx(k0)

②f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；f(x1-x2)＝f(x1)÷f(x2) y=ax；

③f(x1x2)=f(x1)+f(x2)；f(x1/x2)＝f(x1)-f(x2) y=logax

28.如果f(a+x)＝f(b-x)成立，则y＝f(x)图像关于x＝(a+b)/2对称;

特别是，f(x)＝f(-x)成立，则y＝f(x)图像关于y轴对称

29.a>f(x)恒成立a>f(x)的最大值

a

30. a>f(x)有解a>f(x)的最小值

a

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知识点一空间向量概念的应用

给出下列命题：

①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；

②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；

③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=向量AC;

④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；

⑤空间中任意两个单位向量必相等．

其中假命题的个数是()

A．1B．2C．3D．4

解析①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；

②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同；

与与的方向相同，模也相等，应有；

④真命题．向量的相等满足递推规律；

⑤假命题．空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．故选C.

答案C

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【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的`代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。

　　高二数学向量知识点总结(二)

平面向量

戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算：

(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律：+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);

两个向量共线的充要条件：

(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= .

(2) 若=(),b=()则‖b .

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，戴氏航天学校老师提醒有且只 有一对实数，，使得= e1+ e2

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向量（数学用语）

在数学中，几何向量（也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。与之对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）

向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。

向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头→。[和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。给空间设一直角坐标系，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

而在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的.力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

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《烛之武退秦师》

通假字

1．今老矣，无能为也已

已，通“矣”，语气词，了。

2．共其乏困

共，通“供”，供给。

3．夫晋，何厌之有

厌，通“餍”，满足。

4．若不阙秦，将焉取之

阙，通“缺”，侵损，削减。

5．秦伯说，与郑人盟

说，通“悦”，高兴。

6．失其所与，不知

知，通“智”，明智。

古今异义

1．贰于楚也

古：从属二主，动词；

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今：“二”的大写，数词。

2．若舍郑以为东道主

古：东方道路上的主人；

今：泛指设宴请客的主人。

3．行李之往来，共其乏困

古：使者，出使的人；

今：指外出之人随身携带的物品。

4，微夫人之力不及此

古：那个人；

今：尊称一般人的妻子。

《勾践灭吴》

7．南至于句无 句，通“勾”。

8．将帅二三子夫妇以蕃 帅，通“率”，率领。

9．令壮者无取老妇 取，通“娶”，娶妻。

10．将免者以告 免，通“娩”，分娩。

11．三年释其政 政，通“征”，征税。

12．而摩厉之于义 摩厉，通“磨砺”，切磋。

13．无不铺也 铺，通“哺”，给人食物吃。

14．无不歇也 欼，通“啜”，给人水喝。

15．衣水犀之甲者亿有三千

有，通“又”，用于整数与零数之间。

5．然谋臣与爪牙之士，不可不养而择也

古：像爪和牙一样，指帮助者或得力助手；

今：比喻坏人的党羽。

6．将不可改于是矣 古：对这种局面；今：连词，表示后一事紧接着前一事。

7．以暴露百姓之骨于中原

古：原野；今：指黄河中下游地区。

8．丈夫二十不取 古：男子；今：男女两人结婚后，男子是女子的丈夫。《邹忌讽齐王纳谏》

16．徐公来，孰视之 孰，通“熟”，仔细。

9，今齐地方千里 古：土地方圆；今：指某一区域。

《触龙说赵太后》

17．少益耆食 耆，通“嗜”，喜爱。

18．必勿使反 反，通“返”，返回。

《季氏将伐颛臾》

19．无乃尔是过与 与，通“欤”，句末语气词。

《寡人之子国也》

20．则无望民之多于邻国也 无，通“毋”，不要。

21．颁白者不负戴于道路矣 颁，通“斑”，花白。22．涂有饿莩而不知发通“途”，道路。

《劝学》

23．虽有槁暴 有，通“又”，又，再。

暴，通“曝”，晒。

24．则知明而行无过矣 知，通“智”，才智。

25．君子生非异也 生，通“性”，资质，禀赋。

《秋水》

26。泾流之大 泾，通“径”，直。

27．不辩牛马 辩，通“辨”，分辨。

《过秦论》

28．合从缔交

涂，

从，通“纵”。合从，六国联合共同对付秦国的策略。

29．秦有余力而制其弊 弊，通“敝”，困顿，失败。

30．陈利兵而谁何 何，通“呵”，呵问。

31．始皇既没 没，通“殁”，死。

32．而倔起阡陌之中 倔，通“崛”，崛起，兴起。

33．赢粮而景从 景，通“影”，影子。

《鸿门宴》

34．距关 距，通“拒”，把守。

35．毋内诸侯 内，通“纳”，接纳，使进来。

36．张良出，要项伯 要，通“邀”，邀请。

37．言臣之不敢倍德也 倍，通“背”，违背，背叛。

38．旦日不可不蚤自来谢项王蚤，通“早”。

39．令将军与臣有郤 郤，通“隙”，嫌怨，隔阂。

40．因击沛公于坐 坐，通“座”，座位。

41．不者，若属皆且为所虏 不，通“否”，如果不这样。 《兰亭集序》

42．虽趣舍万殊 趣，通“趋”，往，取。

43．亦由今之视昔 由，通“犹”，犹如，如同。

《归去来兮辞》

44．景翳翳以将入 景，通“影”，日光。

45．曷不委心任去留 曷，通“何”，为什么。

古今异义

10．太后明谓左右

古：近臣、属下、侍奉在身边的人员等；今：左和右两方 面，或用在数目字后面表示概数。

11．年几何矣

古：多少；今：指数学的一门学科。

12，至于赵之为赵

古：是动词“至”与介词“于”的连用，译为“到，上推到”； 今：表示达到某种程度，或另外提起一事。

《季氏将伐颛臾》

13．夫颛臾，昔者先王以为东蒙主

古：把当做，让做；今：认为。

14．是社稷之臣也

古：此，这，代词；今

15.丘也闻有国有家者 古：诸侯的封地称 今：“国”指国家，《寡人之于国也》

16．河内凶古：谷物收成不好，

17．弃甲曳兵而走

古：跑，逃跑；今：行

18．是使民养生丧死无，古：供养活着的人；

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第一部分：向量的定义

向量是具有大小和方向的物体，可以用箭头表示。我们通常把箭头的起点称为“原点”，箭头的末端称为“终点”。向量可以有正负之分，以及零向量。同一个向量可以有不同的表示方法，例如用坐标和表示。

第二部分：向量的运算

向量之间可以进行加、减、数乘、点积、叉积等运算。

1. 加法

给定两个向量$a$和$b$，它们的和是一个新的向量$c$，其大小等于$a$和$b$的大小之和，方向为从$a$的起点指向$b$的终点。我们用$c=a+b$表示。

2. 减法

给定两个向量$a$和$b$，它们的差是一个新的向量$c$，其大小等于$a$和$b$的大小之差，方向为从$a$的起点指向$b$的起点。我们用$c=a-b$表示。

3. 数乘

给定一个向量$a$和一个实数$k$，其积是一个新的向量$c$，其大小等于$k$乘上$a$的大小，方向与$a$相同（当$k$为正数时），或者相反（当$k$为负数时）。我们用$c=ka$表示。

4. 点积

给定两个向量$a=(a_1,a_2,a_3)$和$b=(b_1,b_2,b_3)$，它们的点积是一个实数$c$，其值等于$a$和$b$的各个分量相乘之和，即$c=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$。点积还可以用向量的长度和夹角来表示，即$c=|a||b|\cos\theta$，其中$\theta$是$a$和$b$之间的夹角。

5. 叉积

给定两个向量$a=(a_1,a_2,a_3)$和$b=(b_1,b_2,b_3)$，它们的叉积是一个新的向量$c=(c_1,c_2,c_3)$，其各个分量的值为：

$$ c_1=a_2b_3-a_3b_2 $$

$$ c_2=a_3b_1-a_1b_3 $$

$$ c_3=a_1b_2-a_2b_1 $$

叉积还可以用向量的长度和夹角来表示，即$|c|=|a||b|\sin\theta$，其中$\theta$是$a$和$b$之间的夹角，$c$的方向垂直于$a$和$b$所在的平面，遵循右手定则。

第三部分：向量的应用

向量在许多领域都有应用，例如：

1. 牛顿第二定律：$F=ma$，其中$F$是力的向量，$m$是物体的质量，$a$是加速度的向量。

2. 几何学：向量可以表示几何图形的方向、长度和面积等参数。

3. 电磁学：向量可以表示电场、磁场和电流等物理量。

4. 计算机图形学：向量可以表示图形中的点、法向量和光线等元素。

5. 统计学：向量可以表示样本数据、变量之间的关系和主成分等概念。

结语

向量是数学的一个重要概念，具有广泛的应用价值。通过掌握向量的定义、运算和应用，可以更好地理解许多领域的知识。

⬮ 空间向量函数思想总结

1、教材与学情分析

“平面向量的应用”这节教材在二期课改课本第10章最后一节10.6，属于拓展内容。教材选取5个例题说明向量作为工具在数学、物理中的广泛应用性，其中例1和例2说明向量在平面几何中的应用，例3（柯西不等式的证明）说明向量在代数中的应用，例4和例5说明向量在力学中的应用。已学完“力学”的高二学生对向量在力学中的应用并不陌生，联想向量相等、平行向量的关系、垂直向量的关系等解决平面几何问题让学生感到也较自然，因为这是形——形的转化、很直观，而且涉及的向量知识也较容易，学生掌握得也好。而联想向量模的意义、“两向量和与差的模与向量模的和与差的不等关系”、“数量积的平方小于或等于模的平方的积”、将“向量加法的多边形法则”转化为“有关坐标的等式”等解决函数最值、不等式和等式证明、三角求值等问题让学生感到比较困难，其原因之一是以上的知识掌握和理解有一定的难度，二是联想构造“数——形——数”转化的要求高、综合性强、较抽象，三是教学中能力培养不到位，因此在“平面向量在代数中的应用”的教学中能力培养是关键。

本课是在学生已经学习“向量在平面几何中的应用”基础上，学习“向量在代数中的应用”。围绕以上向量的概念和运算性质的应用精心问题，引导学生观察、分析表达式的特征，联想向量知识，通过构造向量将已知条件或结论转化为向量表达、进行向量运算或向量性质的应用将所得的结果转化为所求结论的过程，学生会对数学思想方法中的“数形结合”、“转化”等有更深刻的理解；通过变式教学、特殊与一般的研究，感受数学发现的乐趣；通过错误辨析、一题多解、一题多变的探究，夯实学生基础，达到深刻理解向量的概念，熟练掌握向量的运

算和性质的目的，因而本节课的教学有助于学生能力的提高。

本课的教学对象为松江二中高二学生，他们已较好地理解了向量的概念，比较熟练地掌握向量的运算和性质，并能进行简单应用，有“数形结合”的应用意识，善于思考和发现，有较高的认知水平。因此，有可能也有必要引导他们进行问题探究。关于“数形结合”的思想应用，来源于两个方面，一是已体会到向量本身就是一个数形结合的产物，它兼具代数的抽象、严谨和几何的直观特点，二是通过基本函数的图象与性质的学习，体会到应用“数形结合”研究函数性质、解决函数的零点、方程和不等式的解等问题。正如美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并能创造性思索问题的解法”。所以本节课以“向量在代数中的应用”为载体，进一步让学生体验“数形结合”、“转化”的思想应用为目标，培养学生的探究精神为归宿，促进学生思维能力的提高。

2、教学目标

2．1学生通过问题探究，深刻理解向量的概念，熟练掌握向量的运算和性质，并能着意联想恰当应用，解决有关代数问题；

2．2学生通过一题多解、一题多变的研究，揭示向量在代数问题中的应用本质，体验数形结合思想及特殊与一般关系的应用，感受数学发现的乐趣，培养学生的创新意识。

3、教学重点、难点、注意点

本课重点是加深向量概念、向量的运算和性质的理解，并应用数形结合与转化思想解决有关代数问题；难点是如何数形转化和有关向量模的不等式等号成立的本质理解；注意点要求学生规范表达数形结合解题的步骤。

重点突破：以问题为出发点，观察、分析、展开联想，实践探索，展示学生在讨论、回答过程中的思维活动，体会问题本质。难点突破：复习回顾有关“向量实数化”的特征，如模、数量积、坐标的表示等，通过问题衔接设计，铺垫暗示，一题多解、一题多变、错题辨析、几何画板的应用等达到突破难点目的。

4、教学方法与教学手段

4．1充分体现“以学生为主体，教师为主导”的原则

注重问题设计，体现教师的导向功能，展示学生是展开联想的主体；

重视实践探索，体现教师的导律功能，展示学生是揭示规律的主体

应用媒体实验，体现教师的导标功能，展示学生是体验演示的主体

4．2采取教师指导下的学生实践、探索的模式，把问题作为教学的出发点，指导尝试，总结反思。

4．3 powerpoint、几何画板、多媒体系统

5、课堂设计

5．1新课引入

（1）用PPT在屏幕上显示华罗庚的相片和华罗庚关于“数形结合”的至理名言“数缺形时少直观形离数时难入微”的话，让学生体验数形结合是数学中非常重要的思想和解决问题的常用策略，以数学家的语言激发同学进一步学好数学的愿望；

（2）向量本身就是一个数形结合的产物，它兼具代数的抽象、严谨和几何的直观特点，引导学生回顾有关“向量实数化”的特征，如模、数量积、坐标的表示等，期望能进一步说出有关的不等式和等式，如模的意义、“两向量和与差的模与向量模的和与差的不等关系”、“数量积的平方小于或等于模的平方的积”、将“向量加法的多边形法则”转化为“有关坐标的等式”……

（3）提出课题，在学习“向量在平面几何中的应用”基础上，学习“向量在代数中的应用”。

5．2问题探究

出示问题1。设a、b为不相等的实数，要求学生自主探索、相互讨论。

预计：学生思路分下列三种类型：

（1）有根号想到两次平方分析；

（2）由根号内的现性特征，联想向量的模概念，构造向量，将结论转化为向量表达式，从而揭示“两向量和与差的模与向量模的和与差的不等关系”本质；

（3）由根号内的现性特征，联想两点间距离公式，构造点坐标，将结论转化为平面上三点间距离的不等关系，从而揭示“两线段长度之和（差）大于或等于（小于或等于）第三线段的长”本质。

分析：学生讨论三种方法的异同点，期望说出（1）是处理绝对值和根号的一般代数方法；而（2）（3）都是应用数形转化解决，体现本问题的特殊性，且强调（2）（3）两种方法解题原理相同……

总结用向量解决代数问题的步骤：

（1）构造向量，将已知条件或结论转化为向量表达式（数————形）；

（2）进行向量运算或向量性质的应用；

（3）将所得的结果转化为所求的结论（形————数）。

老师板书示范后，引导学生讨论，条件不变的前提下，由于构造向量或向量性质应用的差异，会得到不同的结论，期望同学一题多变……

注意：“两向量和与差的模与向量模的和与差的不等关系”等号成立的条件，为下面突破难点作好铺垫。

练一练

求函数的最小值。

由学生的错误答案13，引导学生寻找错误原因，并通过几何画板演示最小值取得的条件。强调最值的验证，揭示数学问题的实质，突破难点。

引导：当看到

出示问题2，即课本P50例3，让学生讨论总结“数量积的平方小于或等于模的平方的积”的应用，就证明了柯西不等式，此时预计学生比较活跃，课堂进入高潮……

变式

并指出等号成立的充要条件。

预计：许多学生已观察出仍然是“数量积的平方小于或等于模的平方的积”的应用，揭示数学本质本质，体会柯西不等式所反映实数关系的奇妙性，感受一般与特殊关系。

注意：“数量积的平方小于或等于模的平方的积”中等号成立的条件，为下面练习铺垫，。

练一练

预计：学生使用计算器，很快发现值为0……

教师因势利导：你能不用计数器解决吗？观察角构成的等差数列的代数特征，公差为72，项数为5，如果构造五个单位向量且顺次连接，那么将会得到什么图形？学生动手实验画图、几何画板演示，学生观察、体验。

°

预计：学生回答正五边形，并很快解释值为0的理由，将五个单位向量的起点放在原点处，终点连接，也构成正五边形，原点为其中心，由力学知识所知，五个单位向量的和为零向量。

教师给予表扬，强调同学有很好的直觉思维，因为一个真理的发现很重要，而证明只是一个时间问题。正如大数学家、物理学家牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”并鼓励他完成逻辑证明。

教师点拨：既然构造五个单位向量能组成正五边形，那么对于多边形有怎样的向量运算性质呢？

学生：此时五个单位向量的和为零向量的结论有了依据，学生兴奋不已，而且得到了一个“副产品”，这五个角的正弦和也为0。

由此引导学生自我编题，体验一类三角求值的本质特点，从而进行一般研究。

推广：

5、3课堂总结，

（1）深化理解向量概念，熟练掌握向量的运算和性质。掌握平面向量在代数中应用的解题步骤。

（2）善于抽象概括，从而做到触类旁通；研究问题的数学特征（代数意义、几何意义），善于联想，使数量关系与几何形式有机结合。

（3）通过问题探究，应注重逻辑思维和直觉思维的有机渗透，因为直觉思维是创造性思维活动的一种表现。

5、4注意

向量是解决数学问题的一个工具，当然如果不用向量，也可以解决有关问题。

但是如果由代数特征，联想向量的概念和运算，巧设向量解题，那么可以简化问题解决，也可以加强数形结合思想的应用。

5、5作业（为进一步巩固本课所学知识和方法，完成下列作业，因课上时间）

5、6板书

投影和黑板（在代数中应用向量的运算性质解题的工具和问题1的解题过程及问题2、3的简要过程一直留在黑板上，其它都通过投影显示。）

⬮ 空间向量函数思想总结

数学向量知识点提纲

向量的概念、向量的基本定理

【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。

注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。

考点二：向量的运算

【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。

【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。

考点三：定比分点

【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。

【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。

考点四：向量与三角函数的综合问题

【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。

【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。

考点五：平面向量与函数问题的交汇

【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。

【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。

考点六：平面向量在平面几何中的应用

【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。

成绩不理想的原因

1、对知识点的理解停留在一知半解的层次上;

2、解题始终不能把握其中关键的数学技巧，孤立的看待每一道题，缺乏举一反三的能力;

3、解题时，小错误太多，始终不能完整的解决问题;

4、解题效率低，在规定的时间内不能完成一定量的题目，不适应考试节奏;

5、未养成总结归纳的习惯，不能习惯性的归纳所学的知识点;

6、学习缺少科学性，上课不认真记笔记，课后不能及时巩固、复习;忙于应付作业，对知识不求甚解。

7、忽视基础，有些“自我感觉良好”的学生，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，反而对难题很感兴趣，以显示自己的“水平” ，好高骛远，重“ 量” 轻“ 质”，没有坚实的基础和基本功，到考试时取得不了高分;

8、忽视作业或练习，缺乏对问题的深入思考，有时练习册上的答案由于印刷错误，孩子们作业做完后核对答案时不相信自己的结论，把自己的答案一划，把错误答案抄上;书写规范性差;

9、周练考试出错率高，一种是一时想不出怎么做，事后会做，临场状态不好;第二种是表面上会做，但由于审题不仔细，对概念理解不清，计算不准确;第三种是时间不够，解题速度慢，平时做题习惯不好，不讲速度;第四种是根本做不出来，基本功不行，更欠缺融会贯通能力。

集合的特性

1、确定性

给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

2、互异性

一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。

3、无序性

一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。

⬮ 空间向量函数思想总结

本节所授内容基本与原先设想一致，评略得当，重点突出，难点化解。在两个加法则的引入、讲解及运用的处理方法、时间安排都把握得比较好，能够引导学生积极主动地探索平行四边形法则和三角形法则，使学生对两个加法法则形成了正确的认识，留下了深刻的印象，通过反馈练习，可以看出学生对两个法则的运用掌握的比较好，比较完整地实现了教学目标。

本节课的教学方法运用比较合理：采取了类比、探究、讲练结合及多媒体技术等多种方法。对数学课来说，本节课最显著的特点是将全部板书都移到了课件上，对我来说，是一次尝试，因为以前，我认为数学课没必要用课件，对全部利用课件上课更是不能接受。但是这次讲课改变了我的看法。从学生的反馈情况来看，这样处理对教学效果没有什么不良影响，反而使学生能更直观地理解两个加法法则和运算律，通过课件中的向量的平移，加深了学生对上节课所学的“相等向量”的概念的理解，也加大了课堂容量，还没有拥挤之感。从学生对内容小结的叙述看，没有板书，并没有妨碍本节内容在学生脑海中留下的印象。原先的设计中，板书设计也有，打在教案的后面。

通过这节课的讲授，我收获很多：首先，从课程的构思上，我没有按照教参建议及网上普遍的编排方法先讲三角形法则，而是先由学生学过的力的合成引入了平行四边形法则，由此又引入三角形法则，效果也不错。可见，对教材的处理确实要根据学生情况，灵活裁剪，不能生搬硬套。

其次，通过这节课我感到，对有些与图形联系较多的课程，使用课件讲解简便易行，关键是要根据教学设计制作合适的课件，并且合理使用。

本节缺憾也很多。首先，学生活动还是偏少，没有充分、全面地调动学生热情。其次，语言不够精炼，有时比较啰嗦，也耽误了时间，第三，学生发言时，好打断学生，总觉得学生说得不清楚，抢学生话头，打击了学生课堂参与的积极性，很不好。

以上是我对这节课的反思，不到之处，请大家指点。

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