概率论重点思想总结

概率论重点思想总结(汇集十八篇)。

〖一〗概率论重点思想总结

《概率统计》是高等院校理工类、经管类的重要课程之一。在考研数学中的比重大约占随机变量及其概率分布、数字特征、大数定律与中心极限定理、统计量及其概率分布、参数估计和假设检验、回归分析、方差分析、马尔科夫链等内容。

概率论与数理统计是数学的一个有特色且又十分活跃的分支，一方面，它有别开生面的研究课题，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻;另一方面，它与其他学科又有紧密的联系，是近代数学的重要组成部分。由于它近年来突飞猛进的发展与应用的广泛性，目前已发展成为一门独立的一级学科。概率论与数理统计的理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中，如预测和滤波应用于空间技术和自动控制，时间序列分析应用于石油勘测和经济管理，马尔科夫过程与点过程统计分析应用于等，同时他又向基础学科、工科学科渗透，与其他学科相结合发展成为边缘学科，这是概率论与数理统计发展的一个新趋势。 （孔繁亮）

专业概况

概率论与数理统计是社会等学科中不同类型数据的科学的综处理和统 计推断方法。随着人类社会各个体系的日益庞大、复杂、精密以及计算机的广泛使用，概率统计在信息时代的重要性也越来越大。本专业的重点在于为学生打下坚实 的数学基础，培养科研创新能力，了解并掌握丰富的现代统计方法。

专业背景

要求考生具备基础数学、概率论、数理统计分析、时间序列分析、随机分析、信息技术、计算机等相关学科知识。

研究方向

概率论与随机过程、数理统计、时间序列分析及其应用、保险精算、金融工程、非参数统计、随机分析与随机微分方程、随机动力系统,数学物理

就业前景

硕士毕业后，学生可报考基础数学学科的各专业、计算机科学、概率统计、金融学等与数学相关的或交叉的、高新技术学科的博士研究生;也可选择出国到知名大学继续深造，如哈佛大学、麻省理工大学等;当然，你还可到企业从事数学应用开发工作，事实上相当数量的毕业生都会选择在企业、事业单位从事统计调查、统计信息管理、数量分析的工作，随着计算机软件应用的日益加强，统计学，尤其是SPSS软件分析的前景看好，统计人才更是成为了用人单位争相“抢购”的“香饽饽”。

题型总结

目前，大部分同学开始了概率论和数理统计的复习，本文主要想对同学们近期的复习做一个简单的指导。概率论与数理统计初步主要考查考生对研究随机现象规律性的基本概念、基本理论和基本方法的理解，以及运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。常有的题型有：填空题、选择题、计算题和证明题，试题的主要类型有：

(1)确定事件间的关系，进行事件的运算；

(2)利用事件的关系进行概率计算；

(3)利用概率的性质证明概率等式或计算概率；

(几何概型的概率计算；

(条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率；

(6)有关事件独立性的证明和计算概率；

(7)有关独重复试验及伯努利概率型的计算；

(概率分布和概率密度的定义、性质确定其中的未知常数或计算概率；

(9)由给定的试验求随机变量的分布；

(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等计算概率；

(11)求随机变量函数的分布(12)确定二维随机变量的分布；

(13)利用二维均匀分布和正态分布计算概率；

(条件分布；

(15)判断随机变量的独立性和计算概率；

(16)求两个独立随机变量函数的.分布；

(方差的定义、性质、公式，或利用常见随机变量的数学期望、方差求随机变量的数学期望、方差；

(18)求随机变量函数的数学期望；

(相关系数并判断相关性；

(20)求随机变量的矩和协方差矩阵；

(21)利用切比雪夫不等式推证概率不等式；

(22)利用中心极限定理进行概率的近似计算；

(χF分布的定义、性质推证统计量的分布、性质；

(24)推证某些统计量(特别是正态总体统计量)的分布；

(25)计算统计量的概率；

(26)求总体分布中未知参数的矩估计量和极大似然估计量；

(有效性和一致性；

(28)求单个或两个正态总体参数的置信区间；

(29)对单个或两个正态总体参数假设进行显著性检验；

(30)利用χ2检验法对总体分布假设进行检验。

这一部分主要考查概率论与数理统计的基本概念、基本性质和基本理论，考查基本方法的应用。对历年的考题进行分析，可以看出概率论与数理统计的试题，即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求考生能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。

在解答这部分考题时，考生易犯的错误有：

(1)概念不清，弄不清事件之间的关系和事件的结构；

(2)对试验分析错误，概率模型搞错；

(3)计算概率的公式运用不当；

(4)不能熟练地运用独立性去证明和计算；

(5)不能熟练掌握和运用常用的概率分布及其数字特征；

(公式和性质进行综合分析、运算和证明。

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专业轮廓

在自然界和人类的日常生活中，随机现象非常普遍，比如每期福利的中奖号码。概率论是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性作出一种客观的科学判断，并作出数量上的描述；比较这些可能性的大小。数理统计是应用概率的理论研究大量随机现象的规律性，对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明，并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性，使人们能从一组样本判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。

[关键词] 研究热点

罗燕（：现在应用统计方向的研究越来越热了，应用统计更贴近生活，所以越来越被各行各业注重。但是我们不要忘了统计的基础是概率。概率方面的研究仍然值得重视。

宋高阳（：统计学主要方向有随机理论、数据分析、金融统计等，就现在的情况来看，数据分析和数据挖掘会比较热门，因为应用的范围更广一些。如果研究生毕业之后选择工作，应用性较强的学科是最好的选择。

[关键词] 建议

宋高阳（：国内许多高校将统计学和金融学划归为一类，成立金融与统计学院或者直接统计学划归为经济系。这非常好理解，因为经济学和金融学都是以统计为基本方法的。但作为数学二级学科的统计学的范畴却和金融统计相去甚远，学术成分也更高一些。统计学以概率论为基础，理论性更强，对随机过程、概率极限、回归分析等基础知识的要求也更高。其实，统计学也不仅仅只是在金融学方面才有用武之地，回到开篇提到的“生物统计学”，就是当仁不让的热门“头牌”，这就要考生在报考时注意自己选择的到底是经济学院的统计学，还是数学系的统计学。

跨考院校推荐

北京师范大学的概率论研究群体历经三代人，已有李增沪、张余辉、王凤雨等著名的专家学者。这一研究群体被国际上的两个主要数学评论杂志誉为“马氏过程的中国学派”或“北京学派”。主要研究方向有交互作用粒子系统、随机分析、测度值马氏过程等。概率论和数理统计学科实力较强的院校还有南开大学、中南大学、东北师范大学、武汉大学、华中科技大学、中国科学技术大学等。

数学这棵大树历经多年的发展已经枝繁叶茂。一般重点大学的数学系都会有数十位甚至上百位教授或讲师，每位的研究方向都不一样，它们彼此的差异就好比达芬奇的鸡蛋，再加上与各种学科的交叉和发展，又产生了更多的新分支方向。也正因为这样，数学这门学科才会如此丰富多姿。

怎样学“概率论与数理统计”

“概率论与数理统计”是理工科大学生的一门必修课程，也是报考硕士研究生时数学试卷中重要内容之一[其中数学一占信息论、可靠性理论、人工智能等)的基础，因此学好这一学科是十分重要的.?

首先我们从历届考研成绩进行分析，观察一下高等数学与概率统计之间有什么差异其一是概率统计的平均得分率往往低于高等数学平均得分率.其二高等数学的得分分布呈两头小中间大现象，即低分和高分比例小，而中间分数段比例大，而概率统计的得分率却是低分多， 中间分数少，高分较多的现象.为什么会发生上述差异?经分析发现虽然高等数学与概率统计同属数学学科，但各有自己的特点. 高等数学主要是通过学习极限、导数和积分等知识解决有关(一维或多维)函数的有关性质和图象的问题, 它与中学的数学有着密切联系而且有着相同的思想方法和解题思路.因而在概念上理解比较容易接受(当然也有比较抽象的内容如中值定理等).另一方面由于涉及许多具体初等函数，在求导数和积分时有许多计算上的技巧，需要大量练习以熟练掌握这些技巧，因而部分学生即使概念不十分清楚，但仍能正确解答相当多的试题，在考研中得到一定的成绩.?

而在“概率论与数理统计”的学习中更注重的是概念的理解，而这正是广大学生所疏忽的，在考研复习时几乎有近一半以上学生对“什么是随机变量”、“为什么要引进随机变量”仍说不清楚.对于涉及随机变量的独立，不相关等概念更是无从着手，这一方面是因为高等数学处理的是“确定”的事件.如函数y=f(x)，当x确定后y有确定的值与之对应.而概率论中随机变量X在抽样前是不确定的，我们只能由随机试验确定它落在某一区域中的概率，要建立用“不确定性”的思维方法往往比较困难，如果套用确定性的思维方法就会出错.由于基本概念没有搞懂，即使是十分简单的题目也难以得分.从而造成低分多的现象.另一方面由于概率论中涉及的计算技巧不多，除了古典概型，几何概型和计算二维随机变量的函数分布时如何确定积分上、下限有一些计算的难点，其他的只是数值或者积分、导数的计算.因而如果概念清楚，那么解题往往很顺利且易得到正确答案，这正是高分较多的原因.?

根据上面分析，启示我们不能把高等数学的学习方法照搬到“概率统计”的学习上来，而应按照概率统计自身的特点提出学习方法，才能取得“事半功倍”的效果.下面我们分别对“概率论”和“数理统计”的学习方法提出一些建议.?

一、 学习“概率论”要注意以下几个要点

离散型和连续型随机变量的分类，随机变量的数学特征等概念的引进都有明确的背景，在学习中要深入理解体会.?

2. 在学习“概率论”过程中对于引入概念的内涵和相互间的联系和差异要仔细推敲，例如随机变量概念的内涵有哪些意义：它是一个从样本空间到实轴的单值实函数X(w)，但它不同于一般的函数，首先它的定义域是样本空间，不同随机试验有不同的样本空间.而它的取值是不确定的，

随着试验结果的不同可取不同值，但是它取某一区间的概率又能根据随机试验予以确定的，而我们关心的通常只是它的取值范围，即对于实轴上任一B，计算概率P(X∈B)，即随机变量X的分布.只有理解了随机变量的内涵，下面的概念如分布函数等等才能真正理解.又如随机事件的互不相容和相互独立两个概念通常会混淆，前者是事件的运算性质，后者是事件的概率性质，但它们又有一定联系，如果P(A)·P(B)>0，则A，B独立则一定相容.类似地，如随机变量的独立和不相关等概念的联系与差异一定要真正搞懂.?

3. 搞懂了概率论中的各个概念，一般具体的计算都是不难的，如F(x)=P(X≤x),EX,DX等按定义都易求得.计算中的难点有古典概型和几何概型的概率计算，二维随机变量的边缘分布fx(x)=∫－∞∞ f(x,y)dy,事件B的概率P((X，Y)∈B)=∫∫Bf(x,y)dxdy，卷积公式等的计算，它们形式上很简单，但是由于f(x,y)通常是分段函数，真正的积分限并不再是(－∞,∞)或B，这时如何正确确定事实上的积分限就成了正确解题的关键，要切实掌握.?

4. 概率论中也有许多习题，在解题过程中不要为解题而解题，而应理解题目所涉及的概念及解题的目的，至于具体计算中的某些技巧基本上在高等数学中都已学过.因此概率论学习的关键不在于做许多习题，而要把精力放在理解不同题型涉及的概念及解题的思路上去.这样往往能“事半功倍”.

〖二〗概率论重点思想总结

前言

第1章 概率论基础

【概率论简史】

1.1 随机试验与样本空间

1.1.1 随机试验

1.1.2 样本空间

1.2 随机事件及其概率

1.2.1 随机事件

1.2.2 事件间的关系及运算

1.2.3 事件的概率及性质

1.3 古典概型与几何概型

1.3.1 排列与组合公式

1.3.2 古典概型

1.3.3 几何概型

1.4 条件概率与乘法公式

1.4.1 条件概率

1.4.2 乘法公式

1.5 全概率公式和贝叶斯公式

1.5.1 全概率公式

1.5.2 贝叶斯公式

1.6 独立性

1.6.1 事件的独立性

1.6.2 试验的独立性

1.7 Excel数据分析功能简介

1.7.1 统计函数简介

1.7.2 数据分析工具简介

习题1

第2章 随机变量及其分布

【工作效率问题】

2.1 随机变量

2.1.1 随机变量的概念

2.1.2 随机变量的分布函数

2.2 离散型随机变量

2.2.1 离散型随机变量及其分布律

2.2.2 常用离散分布

2.3 连续型随机变量

2.3.1 连续型随机变量及其概率密度

2.3.2 常用连续分布

2.4 随机变量函数的分布

2.4.1 离散型随机变量函数的分布

2.4.2 连续型随机变量函数的分布

【工作效率问题解答】

习题2

第3章 多维随机变量及其分布

【保险中的理赔总量模型】

3.1 多维随机变量及联合分布

3.1.1 多维随机变量的概念

3.1.2 二维随机变量及联合分布函数

3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律

3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度

3.1.5 常用二维分布

3.2 二维随机变量的边缘分布

3.2.1 二维随机变量的边缘分布函数

3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律

3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度

3.3 条件分布

3.3.1 离散型随机变量的条件分布

3.3.2 连续型随机变量的条件分布

3.4 随机变量的相互独立性

3.5 二维随机变量函数的分布

3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布

3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布

【保险中的理赔总量模型解答】

习题3

第4章 随机变量的数字特征

【分赌本问题】

4.1 随机变量的数学期望

4.1.1 数学期望的概念

4.1.2 随机变量函数的数学期望

4.1.3 数学期望的性质

4.2 方差

4.2.1 方差的概念与计算

4.2.2 方差的性质

4.3 协方差及相关系数、矩

4.3.1 协方差

4.3.2 相关系数

4.3.3 矩

【分赌本问题解答】

习题4

第5章 大数定律和中心极限定理

【吸烟率调查问题】

5.1 大数定律

5.2 中心极限定理

5.2.1 独立同分布的中心极限定理

5.2.2 二项分布的正态近似

【吸烟率调查问题解答】

习题5

第6章 数理统计基础

【数理统计简史】

【质量控制问题】

6.1 总体和样本

6.1.1 总体与个体

6.1.2 样本与抽样

6.1.3 直方图与经验分布函数

6.2 统计量与抽样分布

6.2.1 统计量

6.2.2 抽样分布

6.2.3 分位数

【质量控制问题解答】

习题6

第7章 参数估计

【装配线的平衡问题】

7.1 参数的点估计

7.1.1 点估计问题的一般提法

7.1.2 矩估计

7.1.3 最大似然估计

7.1.4 估计量的评价标准

7.2 参数的区间估计

7.2.1 区间估计的一般步骤

7.2.2 正态总体均值的区间估计

7.2.3 正态总体方差的区间估计

7.2.4 两正态总体均值差的区间估计

7.2.5 两正态总体方差比的区间估计

7.2.6 单侧置信区间

【装配线的平衡问题解答】

习题7

第8章 假设检验

【质量检验问题】

8.1 假设检验的思想方法和基本概念

8.1.1 假设检验的'思想方法

8.1.2 假设检验的两类错误

8.2 正态总体的参数检验

8.2.1 单正态总体均值与方差的检验

8.2.2 两正态总体均值与方差的比较

8.2.3 成对数据的假设检验

8.2.4 P值检验法

8.3 总体分布的假设检验

【质量检验问题解答】

习题8

第9章 相关分析与一元回归分析

【回归名称的来历】

9.1 相关分析

9.1.1 散点图

9.1.2 相关系数

9.1.3 相关性检验

9.2 回归分析

9.2.1 一元线性回归分析

9.2.2 可化为线性回归的一元非线性回归

习题9

第10章 方差分析

【营销策略问题】

10.1 方差分析中的基本概念

10.2 单因素方差分析

lO.2.1 单因素方差分析的问题

10.2.2 单因素方差分析的数学模型

10.2.3 方差分析的方法

10.3 双因素方差分析

10.3.1 无交互作用的双因素方差分析

10.3.2 有交互作用的多因素方差分析

【营销策略问题解答】

习题10

习题解答

附录

附表1 泊松分布表

附表2 标准正态分布函数表

附表3 X2分布分位数表

附表4 t分布分位数表

附表5 F分布分位数表

〖三〗概率论重点思想总结

答：概率这门学科与别的学科是不太一样的，首先我建议这位同学你可以看一下教育部考试中心一本杂志，专门出了一个针对研究生考试的书，这个里面请我写了一篇文章，里面我举很多例子，你看了之后有一个详细复习方法。概率这门学科与概率统计、微积分是不一样的，它要求对基本概念、基本性质的理解比较强，有个同学跟我说高等数学不存在把题看不懂的问题，但是概率统计的题尤其文字叙述的时候看不懂题，从这个意义上来说同学平常复习时候，只要针对每一个基本概念，要把它准确的理解，概念要理解准确，通过例子理解概念，通过实际物体理解概念。例如：比如我们一个盒子一共有十件产品，其中三件次品，七件正品，我们做一个实验，每次只取一件产品，取之后不再放回去，现在我提两个问题：一个是第三次取的次品是什么事件，这个事件就是积事件，第一次没有取到次品，第二次没有取到次品，第三次是取到次品，求这么一个事件的概率，但是换一个问题，我说你求前面两次没有取到次品情况下，第三次取到次品的概率，这个就不是积事件了，我第二个问题是知道了前面两次没有取到次品，这个信息已经知道了，然后问你第三次取到次品概率是多少，这是条件概率，这个信息已经知道了，另外一个事件发生的概率，这叫条件概率，这是容易混淆的。还有绝对概率，拿我们刚才举的例子来讲，如果我让你求第三次取到次品是什么概率，那是绝对事件的概率，这和前面两个又不一样。我举这个例子提醒考生复习时候把这些基本概念搞清楚了，把公式把握了，这个就比较容易了。跟微积分比较起来这里没有什么公式，公式很少。所以我们把基本概念弄清楚以后，计算的技巧比微积分少得多，所以有同学跟我说，他说概率统计这门课程要么就考高分，要么考低分，考中间分数的人很少，这就说明了这种课程的特点。

〖四〗概率论重点思想总结

这部分书上只要求一半，第七章的基本概念和第八章的参数估计，第九章的检验假设（和参数估计同等级的，也是一种推测的方法）和第十章两种分析（貌似是讲怎样处理数据的，我也没仔细看，所以就不和前几章一样装做很懂的样子，我发现我好会装啊，其实我前几章也不懂，哈哈）不要求

相比于概率论，数理统计要求的内容比较少，只要掌握基本概念和参数估计就好了。先举个例子。

譬如我想知道在周一到周五哪天晚上去图书馆才能尽可能遇见你，所以首先呢，我在本学期前五周先安排了我的一个兄弟蹲守侧门，我呢蹲守正门，开始记录你来图书馆是星期几晚上（也就是抽样），然后呢我就开始分析这些数据，最后我可以推测在接下来的十几周，我应该在周四晚上去图书馆才能尽可能遇见你。诶，这就是数理统计要干的事。

下面是正文：

第七章 基本概念

这章有3个内容。第一个就是总体样本观测值的定义，第二是统计量，第三是分位数。

【1】其实高中也学过，不过大学只是把它定量化了。其实这章有些人看不懂，主要是看大写X，Xi和小写xi看晕了。所以我们要明确总体X，样本X1，X2，Xn，而观测值是x1,x2,xn。从总体中抽出样本的过程就是抽样，也就是上文的蹲点。而观测值呢就是我蹲点后的记录。（这里要明确的是，样本也是个随机变量，因为我蹲点了，你来不来肯定不知道啊，只有等我观测了一晚上记录说“今晚你没来”，这样我才知道，而这就是观测值）

PS：大写的X和中文的“量”（譬如估计量）都是指随机变量是不确定的。小写的x和“值”（譬如估计值）都是数值，是个数。

【2】明确了定义，我们就来看下怎样去高校地表示和利用这些数据，也就是统计量。常见的统计量有样本均值，样本方差，样本K阶矩和最大最小次序统计量。（要注意的是，和概率论不同的是，这里是样本的统计量）

这些比较简单，难得是统计量的分布。（三大分布x2分布，t分布，F分布）主要掌握他们的定义，概率密度的图像，性质（书上很多东西都不要求的，只要记住定义图像和性质就行，譬如开方分布的期望是自由度之类的）。尤其是图形要记住，之后的区间估计会用到。这章中的考题也无非就是统计量的分布和统计量的数值特征。

由于现实中最常见的分布是正态分布，所以之后书本上讨论了正态总体的抽样分布，这里很枯燥，一大推不认娘的公式，有人肯定看不大懂，没关系，学到区间估计就懂了（由于内容重复，我在下文区间估计时一起讲）。

【3】分位数，这个比较直观实用，附录很多表就是这个。我们的教课书上采用的左侧分位数，就是阴影在左边的。具体的定义比较简单，记住横坐标和阴影的对应关系就好了。 总结下这章的重点，1）三大分布的定义和性质2）正态总体三个抽样分布（下文区间估计一起讲）3）三个图像在区间估计时的运用，譬如求下文1-α的置信区间等。然后这章就没了。

第八章 参数估计

参数估计就是上文我分析推测你最可能哪天晚上去图书馆自习的方法之一，还一个方法就是假设检验。整章就两个内容，点估计和区间估计。

〖五〗概率论重点思想总结

本书是按照高等院校教材《概率论和数理统计》(第三版 浙江大学 盛骤等编)而编写的学习辅导与习题全解参考书。全书按教材章节进行编写，每章分为本章知识要点、典型例题讲解和教材课后习题全解三部分。并对教材书后的补充习题给出了全面的解答过程。

本书可作为高等院校在校学生及自考学生学习《概率论与数理统计》课程的辅导教材、复习参考书以及考研强化指导书，并可作为教师的教学参考用书。

〖六〗概率论重点思想总结

随机事件和概率考查的主要内容有：

(1)事件之间的关系与运算，以及利用它们进行概率计算；

(2)概率的定义及性质，利用概率的性质计算一些事件的概率；

(3)古典概型与几何概型；

(4)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率；

(5)事件独立性的概念，利用独立性计算事件的概率；

(6)独立重复试验，伯努利概型及有关事件概率的计算。

要求：考生理解基本概念，会分析事件的结构，正确运用公式，掌握一些技巧，熟练地计算概率。

随机变量及概率分布考查的主要内容有：

(1)利用分布函数、概率分布或概率密度的定义和性质进行计算；

(2)掌握一些重要的随机变量的分布及性质，主要的有：（0-1）分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、均匀分布、指数分布和正态分布，会进行有关事件概率的计算；

(3)会求随机变量的函数的分布。

(4)求两个随机变量的简单函数的分布，特别是两个独立随机变量的和的分布。要求：考生熟练掌握有关分布函数、边缘分布和条件分布的计算，掌握有关判断独立性的方法并进行有关的计算，会求两个随机变量函数的分布。

随机变量的数字特征考查的主要内容有：

(1)数学期望、方差的定义、性质和计算；

(2)常用随机变量的数学期望和方差；

(3)计算一些随机变量函数的数学期望和方差；

(4)协方差、相关系数和矩的定义、性质和计算；

要求：考生熟练掌握数学期望、方差的定义、性质和计算，掌握由给出的试验确定随机变量的分布，再计算有关的数字的特征的方法，会计算协方差、相关系数和矩，掌握判断两个随机变量不相关的方法。

(2)大数定律；

(3)中心极限定理。

要求：考生会用切比雪夫不等式证明有关不等式，会利用中心极限理进行有关事件概率的近似计算。

数理统计的基本概念考查的主要内容有：

(1)样本均值、样本方差和样本矩的概念、 性质及计算；

(2)χ2分布、t分布和F分布的定义、性质及分位数；

(3)推导某些统计量的（特别是正态总体的某些统计量）的分布及计算有关的概率。

要求：考生熟练掌握样本均值、样本方差的性质和计算，会根据χ2分布、 t分布和F分布的定义和性质推导有关正态总体某些统计的计量的分布。

参数估计考查的主要内容有：

(1)求参数的矩估计、极大似然估计；

(2)判断估计量的'无偏性、有效性、一致性；

(3)求正态总体参数的置信区间。

要求：考生熟练地求得参数的矩估计、极大似然估计并判断无偏性，会求正态总体参数的置信区间。

假设检验考查的显著的主要内容有：

(1)正态总体参数的显著性检验；

(2)总体分布假设的χ2检验。

要求：考生会进行正态总体参数的显著性检验和总体分布假设的χ2检验。

常有的题型有：填空题、选择题、计算题和证明题，试题的主要类型有：

(1)确定事件间的关系，进行事件的运算；(2)利用事件的关系进行概率计算；(3)利用概率的性质证明概率等式或计算概率；(4)有关古典概型、几何概型的概率计算；(5)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率；(8)利用随机变量的分布函数、概率分布和概率密度的定义、性质确定其中的未知常数或计算概率；(9)由给定的试验求随机变量的分布；(10)利用常见的概率分布（例如（0-1）分布、二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等）计算概率；(11)求随机变量函数的分布(12)确定二维随机变量的分布；(13)利用二维均匀分布和正态分布计算概率；(14)求二维随机变量的边缘分布、条件分布；(15)判断随机变量的独立性和计算概率；(16)求两个独立随机变量函数的分布；(17)利用随机变量的数学期望、方差的定义、性质、公式，或利用常见随机变量的数学期望、方差求随机变量的数学期望、方差；(18)求随机变量函数的数学期望；(19)求两个随机变量的协方差、相关系数并判断相关性；(20)求随机变量的矩和协方差矩阵；(21)利用切比雪夫不等式推证概率不等式；(22)利用中心极限定理进行概率的近似计算；(23)利用t分布、χ2分布、F分布的定义、性质推证统计量的分布、性质；(24)推证某些统计量（特别是正态总体统计量）的分布；(25)计算统计量的概率；(26)求总体分布中未知参数的矩估计量和极大似然估计量；(27)判断估计量的无偏性、有效性和一致性；(28)求单个或两个正态总体参数的置信区间；(29)对单个或两个正态总体参数假设进行显著性检验；(30)利用χ2检验法对总体分布假设进行检验。

这一部分主要考查概率论与数理统计的基本概念、基本性质和基本理论，考查基本方法的应用。对历年的考题进行分析，可以看出概率论与数理统计的试题，即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求考生能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。

在解答这部分考题时，考生易犯的错误有：

（1） 概念不清，弄不清事件之间的关系和事件的结构；

（2） 对试验分析错误，概率模型搞错；

（3） 计算概率的公式运用不当；

（4） 不能熟练地运用独立性去证明和计算；

（5） 不能熟练掌握和运用常用的概率分布及其数字特征；

（6） 不能正确应用有关的定义、公式和性质进行综合分析、运算和证明。

综合历年考生的答题情况，得知概率论与数理统计试题的得分率在0.3左右，区分度一般在0.40以上。这表明试题既有一定的难度，又有较高的区分度。

〖七〗概率论重点思想总结

第1章 组合分析

第2章 概率论公理化

第3章 条件概率和独立性

第4章 随机变量

第5章 连续型随机变量

第6章 随机变量的联合分布

第7章 期望的性质

第8章 极限定理

第9章 概率论的其他课题

第10章 模拟

附录A 部分习题答案(图灵网站下载)

附录B 自检习题答案(图灵网站下载)

……

〖八〗概率论重点思想总结

一、构建知识框架

估计问题是概率论与数理统计中最后一部分的内容。它的考试范畴是矩估计和极大似然估计。所以，在学习这部分之前，大家要把统计学的基本知识搞清楚，了解常见的统计量及其分布。而且大家还要深刻理解大数定理和中心极限定理的内涵。在这些基础上，大家学习矩估计和极大似然估计就好多了。

二、把握知识原理

在有前面的知识做铺垫后，大家就要开始学习矩估计和极大似然估计了。先看矩估计，它的本质原理是样本矩有相合性，所以可以用样本矩来替代总体矩。同时总体矩中含有未知参数。所以通过建立含有未知参数的样本矩的方程就可以把参数给估计出来。再看极大似然估计，它的本质原理是基于一种假设，即我们观察的一组样本数据，那么观察这组数据发生的概率应该是比较大的。所以我们对参数的估计就是要找一个估计量使得这组数据发生的概率。总之，只有理解了矩估计和极大似然估计的深刻原理，我们才能把握好这个知识，才能更好的应用它。

三、多做习题练习

在前面有了知识体系和掌握了知识原理后，剩下的就是多做题对知识进行理解了。有句古话：光说不练假把式。所以对知识的熟练掌握还是要通过做题来实现。同时，我也反对题海战术，做题不是盲目的做题，不是只做不练。做题应该是有选择的做题，做一个题就应该了解一个方法，掌握一个原理。所以，大家可以参考历年真题来进行练习。每做一个题，大家就该考虑下它是怎么考察我们所学的知识点的。如果做错了，大家还要多进行反思。找到做错的原因，并且逐步改正。这样才能长久的提高。

〖九〗概率论重点思想总结

24.设X1,X2,„Xn为来自正态总体N(,)的一个简单随机样本，则样本均值21ni服从 ni1

A)F(x)1111F(x)arctanx B) x22

1xx(1e),x0 C)F(x)2 D) F(x)f(t)dt，其中f(t)dt1 0,x0

9. 假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分布函数，则下列各式中正确的是

A)F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x);

C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).

Aex,x10.已知随机变量X的密度函数f(x)=(>0,A为常数)，则概率P{X<+a}x0,(a>0)的值

A)与a无关，随的增大而增大 B)与a无关，随的增大而减小

C)与无关，随a的增大而增大 D)与无关，随a的增大而减小

11.X1,X2独立,且分布率为 (i1,2),那么下列结论正确的是 A)X1X2 B)P{X1X2}1 C)

P{X1X2}1D)以上都不正确 12.设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 且X,Y相互独立，则 A) 2/9,1/9 B) 1/9,2/9

C) 1/6,1/6 D) 8/15,1/18

2213.若X～(1,1)，Y～(2,2)那么(X,Y)的联合分布为

A) 二维正态，且0 B)二维正态，且不定

C) 未必是二维正态 D)以上都不对

14.设X，Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是

A)FZ(z)= max { FX(x),FY(y)}; B) FZ(z)= max { |FX(x)|,|FY(y)|}

C) FZ(z)= FX(x)·FY(y) D)都不是

15.下列二无函数中， 可以作为连续型随机变量的联合概率密度。

cosx,x,0y1 A)f(x,y)= 220,其他

1cosx,x,0yB) g(x,y)=222 0,其他

C) (x,y)=cosx,0x,0y1 其他0,

1cosx,0x,0yD) h(x,y)=2 0,其他

16.掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为

A) 50 B) 100 C)120 D) 150

17. 设X1,X2,X3相互独立同服从参数3的泊松分布，令Y1(X1X2X3)，则 3E(Y2)

A)1. B)9. C)10. D)6.

18.对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)E(X)E(Y)，则

A)D(XY)D(X)D(Y) B)D(XY)D(X)D(Y)

C)X和Y独立 D)X和Y不独立

19.设P()(Poission分布)，且E(X1)X21，则=

A)1， B)2， C)3， D)0

20. 设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(XY)DXDY是X和Y的

A)不相关的充分条件，但不是必要条件; B)独立的必要条件，但不是充分条件;

C)不相关的充分必要条件; D)独立的充分必要条件

21.设X～N(,)其中已知，未知，X1,X2,X3样本，则下列选项中不是统计量的是

A)X1X2X3 B)max{X1,X2,X3} C)22i13Xi22 D)X1

22.设X～(1,p) ,X1,X2,,Xn,是来自X的样本，那么下列选项中不正确的是A)当n充分大时，近似有X～Np,

p(1p) n

kkB)P{Xk}Cnp(1p)nk,k0,1,2,,n

C)P{XCnp(1p)k

nkknk,k0,1,2,,n

kkD)P{Xik}Cnp(1p)nk,1in

23.若X～t(n)那么2～A)F(1,n) B)F(n,1) C)2(n) D)t(n)

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24.设X1,X2,Xn为来自正态总体N(,2)简单随机样本，X是样本均值，记

1n1n1n2222S(XiX)，S2(XiX)，S3(Xi)2， n1i1ni1n1i121

1n

S(Xi)2，则服从自由度为n1的.t分布的随机变量是 ni124

A) tXS1/n1 B) tXS2/1 C) t2XS3/n D) tXS4/n 25.设X1,X2,„Xn，Xn+1, „,Xn+m是来自正态总体N(0,)的容量为n+m的样本，则统计量

Vmi2

ni2

in1i1nmn服从的分布是

A) F(m,n) B) F(n1,m1) C) F(n,m) D) F(m1,n1)

〖十〗概率论重点思想总结

关系型作文话题，审题时除了要兼顾话题构成的各个要素外，还应该有侧重，要分清楚矛盾的主要方面与次要方面，要善于敏锐地捕捉重点，敢于突出重点，即“重点论”。做到两点论与重点论的统一。切不可各个要素泛泛而谈，平均用力，不见重点。

例：请以“模仿与创新”为话题写篇文章。一般考生认为“模仿与创新是相辅相成，密不可分的”，因此往往提出的论点是“既要模仿，又要创新”，两者并重，泛泛而论。但是如果联系现实，根据社会发展对创新人才的需求，就可提出“要模仿，更要创新”的论点，重点强调“创新”的重要性。立意就更具现实性，更深刻。行文时也要突出“创新”。

例：一个人屋檐下躲雨，看见一个和尚正在撑伞走过。这人说：“大师，普渡一下众生吧，带我一段如何？”和尚说：“我在雨里，你在檐下，而檐下无雨，你不需要我度。”这人立刻跳出檐下，站在雨中说：“现在我也在雨中，该度我了吧？”和尚说：“我也在雨中，你也在雨中，我不被淋，因为有伞；你被雨淋，因为无伞。所以不[复习必备 | 海量免费学习视频资源尽在“学而思轻课APP”>>>点击了解]是我度自己，而是伞度我。你要被度，不必找我，请自找伞！”说完便走了。请以“助人与自助”为话题写篇文章。如果仅从“两点论”角度立意，为“既要助人，又要自助”，但立意平平，不见重点，又没有扣紧材料，有失偏颇。从“重点论”角度立意，为“既要助人，更要自助”或“既要自助，更要助人”。最后从材料看，从关键句“不必找我，请自找伞”可看出“现代人不能一味地接受别人的帮助，而应自立，自强，它才是我们走向成功实现理想最可靠的保证”。这才是此话题的最佳立意。【文章来源于网络】

〖十一〗概率论重点思想总结

答：这个可以看作我们概率一个基础，我不知道这个网友是考数学几，随机变量分布这是一大块内容，基本每都年考一点，还有一个就是数理特征和数理统计基本考一个大题，概率和数理统计这部分如果从复习角度来看我们首先要理解概念，我认为这里面有三个典型途径：第一古典概率，一个概率的公式的推算，第二个途径就是利用我们的分布信息来求概率，我们涉及到一维的也可以是二维的，即可以是离散型的也可以是连续型的，都有求概率的方法，我们讨论概率统计里的问题，比如分布函数问题，本身就是求概率，你只要知道求概率统计三个途径，所以我讨论分布函数，由分布函数可以讨论概率分布函数，源头是分布函数，分布函数基础是求概率，通过这个角度把握我认为概率统计发现不是你想象的那么复杂了。这里面重点的是二两者，第一种古典概率考的是排列组合，这个是初中内容，稍微难一点古典概率的题，同学没有过多关心，不会从这个角度考的，而是根据我刚才的分析。所以把握这种思路以后，实际上概率统计知识应该把线性代数，特别比高等数学更好拿分。另外稍微应该注意一下概率统计里面随机事件和随机变量之间的转换关系。我们可以通过随机事件引进随机变量，反过来也可以，所以大家复习时候。讨论随机事件之间关系问题也可以借用随机变量之间关系分析，这是概率统计方面大家应该注意几个比较典型的知识点。

〖十二〗概率论重点思想总结

2020年度教师个人工作总结

2020年全年，我依然继续从事着基础课程概率论与数理统计、高等数学的教学工作，课余时间进行着科学研究工作。回首走过的一年，现将工作总结如下。

一、思想工作

俗话说：“活到老，学到老”。本学年，我积极拥护以XXX为领导的新一代党中央的领导。自觉学习党报党刊上的文件精神，在思想上，行动上和党中央保持高度的一致性；支持党中央的一系列方针政策，特别是对反腐倡廉、政治体制改革、深化改革等一系列措施，表示坚决支持。学习了相关文件、政策和措施。在平时的工作中能做到顾全大局，服从领导安排，勤恳踏实，吃苦耐劳；与同事们能精诚协作，以诚相待，通过学习，我能在各方面严格要求自己，努力地提高自己的师德修养，不断反省自己，能正视自己，提高自身素质。

二、教育工作

这学年，本人担任校区本科、专科的数学课程教学工作，教授高等数学、概率论与数理统计两门课程。作为基础课部的一名数学老师，积极落实校区，系部各项教育教学措施，本着以人为本的教育理念，对学生关爱尊重，一视同仁。课堂教学中落实素质教育，强调不仅要让学生“学 会”数学，更重要的是让学生“会学”数学，指导学生怎样听课、怎样做作业和怎样复习，更好地体现学生的主体地位，以及指导学生具备在未来工作中科学地提出问题、探索问题、创造性地解决问题的能力。作业尽量做到精选、全批、快评。全年共完成工作量370课时。

三、科研工作

积极组织校区学生数学建模竞赛的报名工作，对多名同学进行了基本建模知识培训，认真组织学生们进行建模模拟比赛，确定参加人员名单，培养了学生应用数学解决实际问题的能力，并取得不错成绩，指导学生参加2020年全国大学生数学建模竞赛获得山东赛区三等奖。

回首2020年，我深深的感觉到我做的工作还远远不够，我要继续学习，找出差距，不断完善自己，加强专业学习，提高教学质量，提高科研水平，加强理论联系实际，适应专业发展的趋势和新时代对老师的新要求。我相信，在领导和同志们的指导下，我会逐步纠正不足，以更好的成绩来回报关心、帮助、支持我的领导、朋友、家人。

〖十三〗概率论重点思想总结

在大二刚开学我接触到了概率论与数理统计这门课程，虽然在高中时已经接触到了许多跟概率相关的东西，比如随机事件、古典概型以及一系列的计算方法但是在接触到更加高深的层次后还是有许多不一样的感受。

在课程开始之初老师就告诉我们这门课不是很难，关键还在于上课认真听讲。通过老师的简单介绍，我了解到概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，其理论与方法的应用非常广泛，几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产、国民经济以及我们的日常生活。对于作为信息管理与信息系统专业的我，其日后的帮助也是很大的，尤其是对于日后电脑方面的操作有着至关重要的辅助作用。

在这门课程中我们首先研究的是随机事件及一维随机变量二维随机变量的分布和特点。而在第二部分的数理统计中，它是以概率论为理论基础，根据试验或者观察得到的数据来研究随机现象，对研究对象的客观规律性做出种种估计和判断。整本书就是重点围绕这两个部分来讲述的。初学时，就算觉得理解了老师的讲课内容，但是一联系实际也会很难以应用上，简化不出有关所学知识的模型。在期末复习中，自己重新对于整个书本的流程安排还有每个章节的重点重新复习一遍，才觉得有了点头绪。

在长达一个学期的学习中，我增长了不少课程知识，同时也获得了好多关于这门课程的心得体会。整个学期下来这门课程给我最深刻的体会就是这门课程很抽象，很难以理解，但是这门课程给我带来了一种新的思维方式。前几章的知识好多都是高中讲过的，接触下来觉得挺简单，但是后面从第五章的大数定理及中心极限定理就开始是新的内容了。我觉得学习概率论与数理统计最重要的就是要学习书本中渗透的`一种全新的思维方式。统计与概率的思维方式，和逻辑推理不一样，它是不确定的，也就是随机的思想。这也是一个人思维能力最主要的体现，整个学习过程中要紧紧围绕这个思维方式进行。这些都为后面的数理统计还有参数估计、检验假设打下了基础。其次，在所有数学学科中，概率论是一门具有广泛应用的数学分支，是一门真正是把实际问题转换成数学问题的学科。在最后一章中，假设检验就是一个很好的例子。由前面所讲的伯努利大数定律知，小概率事件在N次重复试验中出现的概率很小，因此我们认为在一次试验中，小概率事件一般不会发生，如果发生了就该怀疑这件事件的真实性。正是根据这个思想去解决实际中的检验问题，总之概率与数理统计就是一门将现实中的问题建立模型然后应用理论知识解决掉的学科，具有很强的实际应用性。

〖十四〗概率论重点思想总结

假设你在参加一个由50人组成的婚礼，有人或许会问：“我想知道这里两个人的生日一样的概率是多少?此处的一样指的是同一天生日，如5月5日，并非指出生时间完全相同。”

也许大部分人都认为这个概率非常小，他们可能会设法进行计算，猜想这个概率可能是七分之一。然而正确答案是，大约有两名生日是同一天的客人参加这个婚礼。如果这群人的生日均匀地分布在日历的任何时候，两个人拥有相同生日的概率是97%。换句话说就是，你必须参加30场这种规模的聚会，才能发现一场没有宾客出生日期相同的聚会。

人们对此感到吃惊的原因之一是，他们对两个特定的人拥有相同的出生时间和任意两个人拥有相同生日的概率问题感到困惑不解。两个特定的人拥有相同出生时间的概率是三百六十五分之一。回答这个问题的关键是该群体的大小。随着人数增加，两个人拥有相同生日的概率会更高。因此在10人一组的团队中，两个人拥有相同生日的概率大约是12%。在50人的聚会中，这个概率大约是97%。然而，只有人数升至366人(其中有一人可能在2月29日出生)时，你才能确定这个群体中一定有两个人的生日是同一天。

多少只袜子才能配成一对?

关于多少只袜子能配成对的问题，答案并非两只。而且这种情况并非只在我家发生。为什么会这样呢?那是因为我敢担保在冬季黑蒙蒙的早上，如果我从装着黑色和蓝色袜子的抽屉里拿出两只，它们或许始终都无法配成一对。虽然我不是太幸运，但是如果我从抽屉里拿出3只袜子，我敢说肯定会有一双颜色是一样的。不管成对的那双袜子是黑色还是蓝色，最终都会有一双颜色一样的。如此说来，只要借助一只额外的袜子，数学规则就能战胜墨菲法则。通过上述情况可以得出，“多少只袜子能配成一对”的答案是3只。

当然只有当袜子是两种颜色时，这种情况才成立。如果抽屉里有3种颜色的袜子，例如蓝色、黑色和白色袜子，你要想拿出一双颜色一样的，至少必须取出4只袜子。如果抽屉里有10种不同颜色的袜子，你就必须拿出11只。根据上述情况总结出来的数学规则是：如果你有N种类型的袜子，你必须取出N+1只，才能确保有一双完全一样的。

〖十五〗概率论重点思想总结

尽管概率统计和线性代数所占分数比例完全相同。但是概率论与数理统计部分得分一般均低于线性代数部分，因为大多数考生在复习和答卷时，把概率论与数理统计放在最后，常因时间紧迫，思虑不周而造成准备不充分，进而导致答卷失误。概率论与数理统计部分是大多数考生在数学统考中的一个弱项，是关系考生在选拔性考试中竞争力强弱的关键一环，对中等水平的考生来说，尤为如此。我认为处于现阶段的考生在数学科目的复习安排上，要先从最薄弱的一环开始，也就是说，在目前整个数学课程复习之初，要按照考研大纲规定的内容，先将概率论与数理统计后面，要一节一节地复习，一个概念一个概念地领会，一个题一个题地做，以达到正确理解和掌握基本概念、基本理论和基本方法。要特别指出的是在这一阶段复习时，不要轻视对教科书中一般习题的练习，一定要配合各章节内容做一定数量的习题，总结一般题型的解题方法与思路。这一阶段一般最迟应在国庆节之前完成。尽管这一阶段仅仅是概率论与数理统计乃至数学全面复习的先导，但它是为开始全面冲刺复习打基础的阶段。在此过程中，不要过多地去追求难题、技巧，要脚踏实地、全面仔细地复习，从10年的真题告诉考生，凡是考纲上有的内容，就要不遗漏，出现掌握和会用的考点要弄会、搞透。这个阶段虽然涉及综合性提高性题型不多，但基础打得好将为下阶段全面冲刺复习创造一个有利前提，更何况，很多综合性、灵活性强的考题，其关键之处也在于考生是否能够适当运用有关的最基本概念、理论和方法。

下面我总结一下常考题型：

常有的题型有：填空题、选择题、计算题和证明题，试题的主要类型有：

(1)确定事件间的关系，进行事件的运算；

(2)利用事件的关系进行概率计算；

(3)利用概率的性质证明概率等式或计算概率；

(4)有关古典概型、几何概型的概率计算；

(5)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率；

(6)有关事件独立性的证明和计算概率；

(7)有关独重复试验及伯努利概率型的计算；

(8)利用随机变量的分布函数、概率分布和概率密度的定义、性质确定其中的未知常数或计算概率；

(9)由给定的试验求随机变量的分布；

(10)利用常见的概率分布(例如(0-1)分布、二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等)计算概率；

(11)求随机变量函数的分布(12)确定二维随机变量的分布；

(13)利用二维均匀分布和正态分布计算概率；

(14)求二维随机变量的边缘分布、条件分布；

(15)判断随机变量的独立性和计算概率；

(16)求两个独立随机变量函数的`分布；

(17)利用随机变量的数学期望、方差的定义、性质、公式，或利用常见随机变量的数学期望、方差求随机变量的数学期望、方差；

(18)求随机变量函数的数学期望；

(19)求两个随机变量的协方差、相关系数并判断相关性；

(20)求随机变量的矩和协方差矩阵；

(21)利用切比雪夫不等式推证概率不等式；

(22)利用中心极限定理进行概率的近似计算；

(23)利用t分布、χ2分布、F分布的定义、性质推证统计量的分布、性质；

(24)推证某些统计量(特别是正态总体统计量)的分布；

(25)计算统计量的概率；

(26)求总体分布中未知参数的矩估计量和极大似然估计量；

(27)判断估计量的无偏性、有效性和一致性；

(28)求单个或两个正态总体参数的置信区间；

(29)对单个或两个正态总体参数假设进行显著性检验；

(30)利用χ2检验法对总体分布假设进行检验。

〖十六〗概率论重点思想总结

第一章、随机事件和概率

一、本章的重点内容：

四个关系：包含，相等，互斥，对立﹔

五个运算：并，交，差﹔

四个运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律(德摩根律)﹔

概率的基本性质：非负性，规范性，有限可加性，逆概率公式﹔

五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式﹔

条件概率﹔利用独立性进行概率计算﹔·重伯努利概型的计算。

近几年单独考查本章的考题相对较少，从考试的角度来说不是重点，但第一章是基础，大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核，都会用到第一章的知识。

二、常见典型题型：

1.随机事件的关系运算﹔

2.求随机事件的概率﹔

3.综合利用五大公式解题，尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式。

第二章、随机变量及其分布

一、本章的重点内容：

随机变量及其分布函数的概念和性质(充要条件)﹔

分布律和概率密度的性质(充要条件)﹔

八大常见的分布：0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用﹔

会计算与随机变量相联系的任一事件的概率﹔

随机变量简单函数的概率分布。

近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布。

二、常见典型题型：

1.求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数﹔

2.一个函数为某一随机变量的分布函数或分布律或分布密度的判定﹔

3.反求或判定分布中的参数﹔

4.求一维随机变量在某一区间的概率﹔

5.求一维随机变量函的分布。

第三章、二维随机变量及其分布

一、本章的重点内容：

二维随机变量及其分布的概念和性质，边缘分布，边缘密度，条件分布和条件密度，随机变量的独立性及不相关性，一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分布，几个随机变量的简单函数的分布。

本章是概率论重点部分之一!应着重对待。

二、常见典型题型：

1.求二维随机变量的联合分布律或分布函数或边缘概率分布或条件分布和条件密度﹔

2.已知部分边缘分布，求联合分布律﹔

3.求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数或条件分布和条件密度﹔

4.两个或多个随机变量的独立性或相关性的判定或证明﹔

5.与二维随机变量独立性相关的命题﹔

6.求两个随机变量的相关系数﹔

7.求两个随机变量的函数的概率分布或概率密度或在某一区域的概率。

〖十七〗概率论重点思想总结

1.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。

2.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。

1) 3本一套放在一起。

2)两套各自放在一起。

3)两套中至少有一套放在一起。

3.调查某单位得知。购买空调的占15%，购买电脑占12%，购买DVD的占20%;其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5%，三种电器都购买占2%。求下列事件的概率。

1)至少购买一种电器的;

2)至多购买一种电器的;

3)三种电器都没购买的;

4.仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。

5. 一箱产品，A，B两厂生产分别个占60%，40%，其次品率分别为1%，2%。现在从中

任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大?

6. 有标号1∼n的n个盒子，每个盒子中都有m个白球k个黑球。从第一个盒子中取一个

球放入第二个盒子，再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。

7.从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。(1)放回 (2)不放回

8.设随机变量X的密度函数为f(x)Ae

求 (1)系数A,

(2) P{0x1}

(3) 分布函数F(x)。

9.对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[a,b]内。求体积的密度函数。

10.设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少

成功一次的概率不小于0.9。

11.公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高x (x),

XN(168,72),问车门的高度应如何确定?

12. 设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-x).

求：(1)系数A与B;

(2)X落在(-1，1)内的概率;

(3)X的分布密度。

13.把一枚均匀的硬币连抛三次，以X表示出现正面的次数，Y表示正、反两面次数差的绝对值 ，求(X,Y)的联合分布律与边缘分布。

14.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为

F(x,y)A(Barctanxy)(Carctan) 23

求(1)A、B、C的值， (2)(X,Y)的联合密度， (3) 判断X、Y的独立性。

Ae(3x4y),x0,y015.设连续型随机变量(X，Y)的密度函数为f(x,y)=, 其他0,

求 (1)系数A;(2)落在区域D：{0x1,0y2}的概率。

16. 设(X,Y)的联合密度为f(x,y)Ay(1x),0x1,0yx，

(1)求系数A，(2)求(X,Y)的联合分布函数。

17.上题条件下：(1)求关于X及Y的边缘密度。 (2)X与Y是否相互独立?

18.在第16)题条件下，求f(yx)和f(xy)。

19.盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X的数学期望E(X)和方差D(X)。

20. 有一物品的重量为1克，2克，﹒﹒﹒，10克是等概率的，为用天平称此物品的重量准备了三组砝码 ，甲组有五个砝码分别为1，2，2，5，10克，乙组为1，1，2，5，10克，丙组为1，2，3，4，10克，只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量，问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?

21. 公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望(准确到秒)。

22.设排球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负?

23.一袋中有n张卡片，分别记为1，2，﹒﹒﹒，n，从中有放回地抽取出k张来，以X表

示所得号码之和，求E(X),D(X)。

24.设二维连续型随机变量(X ，Y)的联合概率密度为：f (x ,y)=

求：① 常数k， ② EXY及D(XY). k,0x1,0yx 其他0,

25.设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。

26.一系统是由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且必须至少由 80%的部件正常工作，系统才能正常工作，问n至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于 0.95?

27.甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。

228.设总体X服从正态分布，又设与S分别为样本均值和样本方差，又设

且Xn1与X1,X2,,Xn相互独立，求统计量

Xn1N(,2)，的分布。 29.在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布

若以n表示n次称量结果的算术平均值，为使Pna0.10.95成立，N(,0.22)，求n的最小值应不小于的自然数?

30.证明题 设A，B是两个事件，满足P(BA)P(BA)，证明事件A，B相互独立。

31.证明题 设随即变量X的参数为2的指数分布，证明Y1e

从均匀分布。2X在区间(0，1)上服

〖十八〗概率论重点思想总结

第一章 随机事件及其概率

1.1 随机事件

1.2 概率

1.3 概率的加法法则

1.4 条件概率与乘法法则

1.5 独立试验概型

习题一

第二章 随机变量及其分布

2.1 随机变量的概念

2.2 随机变量的分布

2.3 二元随机变量

2.4 随机变量函数的分布

习题二

第三章 随机变量的数字特征

3.l 数学期望

3.2 数学期望的性质

3.3 条件期望

3.4 方差、协方差

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